Ripasso di matematica: la potenza e le sue proprietà, con esempi di esercizi svolti

La potenza

La potenza è un’operazione matematica che associa a una coppia di numeri naturalie bchiamati base ed esponente, il numero ottenuto moltiplicando la base a per se stessa, tante volte quante indicato dall’esponente b

ab = p

53= 5x5x5 = 125

in cui 5 è la base, 3 l’esponente e 125 il prodotto

Casi particolari:

  • Ogni potenza avente per esponente 1 è uguale alla base:

 21 = 2

71 = 7

1201 = 120

53241 = 5324

  • Ogni potenza avente per esponente 0 è uguale a 1:

 60 = 1

100 = 1

2530 = 1

78910 = 1

libro di matematicaProprietà delle potenze

Tali proprietà possono essere applicate solo in presenza di prodotti e quozienti

  1. Il prodotto di due potenze aventi stessa base ed esponente diverso è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti:

 

52x 54 = 56

 

  1. Il quoziente di due potenze aventi stessa base (la prima con esponente maggiore o uguale all’esponente della seconda) ed esponente diversoè uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti:

 

56: 54= 56 – 4 = 52

 

  1. La potenza di una potenza è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

 

(52)3  = 52×3= 56

 

  1. Il prodotto di due potenze aventi stesso esponente e base diversaè uguale ad una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi:

 

23x 53= (2 x 5)3 = 103

 

  1. Il quoziente di due potenze aventi stesso esponente e base diversaè uguale ad una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi:

 

152: 52 =  (15 : 5)2= 32

compiti a casa

 Esercizi svolti

 Esempio 1

(5 x 58x 54) ∶511=

All’interno dell’esercizio figurano solo prodotti e quozienti, quindi può essere risolto applicando le proprietà.

Sapendo che 5 è uguale a 51, applico la proprietà del prodotto delle potenze con la stessa base (la numero 1 della lista del paragrafo precedente), che mi dice di sommare tutti gli esponenti con base uguale, per cui avrò

51+8+4 = 513 : 511

Adesso applico la proprietà del quoziente di potenze con stessa base (la numero 2 della lista del paragrafo precedente) e avrò

513-11 = 52

Non mi resta che risolvere la potenza ottenuta:

52= 5 x 5 = 25

Esempio 2

(22)3x 22  – 22 =

Attenzione!

Il termine 22 non può essere risolto mediante le proprietà, in quanto preceduto dal segno meno e non da un prodotto o quoziente, come le proprietà impongono, quindi verrà risolto per ultimo.

Applico la proprietà della potenza di potenza (la numero 3 della lista del paragrafo precedente), al termine (22)3  e avrò:

22×3 x 22– 22=

26x 22 – 22 =

Applico la proprietà del prodotto delle potenze con la stessa base (la numero 1 della lista del paragrafo precedente)

26+2 – 22 =

28 – 22 =

256 – 4 = 252

calcolatriceEsempio 3

120+ 42 x32 – 31 =

All’interno dell’esercizio sono presenti i due casi particolari delle potenze enunciate a inizio testo e la proprietà del prodotto di potenze con stesso esponente e base diversa (la numero 4 della lista del paragrafo precedente)

 1 + 122 – 3=

1 + 144 – 3 = 142

Esempio 4

1002 : 102  – (2×22)2 + (32 x22)0 + (56 :54) =

All’interno dell’esercizio sono presenti nell’ordine le seguenti proprietà:

  • quoziente di due potenze aventi stesso esponente e base diversa (proprietà numero 5)
  • prodottodi due potenze aventi stessa base ed esponente diverso (proprietà numero 1) con l’applicazione della proprietà di potenza di potenza (proprietà numero 3)
  • prodottodi due potenze aventi stesso esponentee base diversa (proprietà numero 4), con applicazione del caso particolare numero 2
  • quoziente di due potenze aventi stessa base ed esponente diverso (proprietà numero 2)

Risolvo applicando le regole delle proprietà richieste

102 – (23)2 + (62)0 + 52 =

100 – (2)6 + 60 + 25 =

100 – 64 + 1 + 25 = 62

Questa scheda è stata redatta con la consulenza della professoressa Filippa Saglimbeni

                                                                                

 

 

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