Ripasso di matematica: i numeri naturali, le 4 operazioni e le loro proprietà, le espressioni

RIPASSO DI MATEMATICA

I NUMERI NATURALI

INDICE

OPERAZIONI CON I NUMERI NATURALI

ADDIZIONE

PROPRIETÁ DELL’ADDIZIONE

  • Proprietà commutativa
  • Proprietà associativa
  • Proprietà dissociativa

SOTTARZIONE

PROPRIETÁ DELLA SOTTRAZIONE

  • Proprietà invariantiva

MOLTIPLICAZIONE

PROPRIETÁ DELLA MOLTIPLICAZIONE

  • Proprietà distributiva
  • Proprietà commutativa
  • Proprietà associativa
  • Proprietà dissociativa

DIVISIONE

PROPRIETÁ DELLA DIVISIONE

  • Proprietà invariantiva

ELEMENTO NEUTRO

COME SI COMPORTANO LO 0 E L’1 NELLE 4 OPERAZIONI

ORDINE DELLE OPERAZIONI NELLE ESPRESSIONI

MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE PER 10,100, 1000

calcolatriceI NUMERI NATURALI

I numeri naturali sono quelli che usiamo per contare e ordinare.

I primi vengono detti numeri cardinali, i secondi numeri ordinali.

I numeri naturali sono 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ecc. fino all’infinito.

Ogni numero naturale ha un suo successivo, che si ottiene aggiungendo 1.

Ogni numero naturale ha un numero che lo precede, chiamato precedente, che si ottiene sottraendo 1, tranne lo 0, che è il numero naturale più piccolo.

Esempio: 2 è il successivo di 1, 17 è il successivo di 16, 450 è il successivo di 449

1 è il precedente di 2, 16 è il precedente di 17, 449 è il precedente di 450

 

Per scrivere se un numero è maggiore o minore di un altro, si usano i seguenti simboli:

 > maggiore di (7 > 3; sette è maggiore di tre)

 < minore di (5 < 8; cinque è minore di 8)

OPERAZIONI CON I NUMERI NATURALI

ADDIZIONE

L’addizioneè l’operazione con cui si calcola la somma di due o più numeri naturali, chiamati addendi. Il risultato sarà un numero naturale.

Le proprietàdell’addizione sono:

  • commutativa
  • associativa
  • dissociativa

Proprietà commutativa: la somma di due o più numeri naturali non cambia se si cambia l’ordine degli addendi.

Esempio: 27 + 30 + 5 = 62 (addizione di partenza)

5 + 27 + 30 = 62 (addizione eseguita applicando la proprietà commutativa)

 

Proprietà associativa: la somma di due o più numeri naturali non cambia se a due o più di essi si sostituisce la loro somma.

Esempio: 65 + 5 + 23 = 93 (addizione di partenza)

70 + 23 = 93       (addizione eseguita applicando la proprietà associativa)

 

Proprietà dissociativa: la somma di due o più numeri naturali non cambia se gli addendi vengono riscritti come somma di due fattori.

Esempio: 45 + 83 = 128               (addizione di partenza)

(40+5) + (80+3) = 128 (addizione eseguita applicando la proprietà dissociativa)

SOTTRAZIONE

 La sottrazione è l’operazione con cui si calcola la differenza tra due numeri naturali.

Il primo numero si chiama minuendoe il secondosottraendo.

Il risultato sarà un numero naturale.

La sottrazione ha un’unica proprietà, quella invariantiva.

Proprietà invariantiva: sommando o sottraendo (se è possibile) uno stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo di una sottrazione, la differenza non cambia.

 

Esempio: 26 – 8 = 18 (sottrazione di partenza)

(26 + 2) – (8 + 2) = 18 (sottrazione eseguita applicando la proprietà invariantiva, sommando uno stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo)

(26 – 4) – ( 8 – 4) = 18 (sottrazione eseguita applicando la proprietà invariantiva, sottraendo uno stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo)

numeriMOLTIPLICAZIONE

La moltiplicazione è l’operazionetra due numeri naturali chiamati fattoriche ha per soluzione un terzo numero naturale dettoprodotto.

Il primo fattore si chiama moltiplicando, il secondo moltiplicatore.

Le proprietà della moltiplicazione sono:

  • commutativa
  • associativa
  • dissociativa
  • distributiva

 Proprietà commutativa: il prodotto di due o più numeri naturali non cambia se si cambia l’ordine dei fattori.

Esempio: 2 x 5 x 12 = 120 (moltiplicazione di partenza)

2 x 12 x 5 = 120 (moltiplicazione eseguita applicando la proprietà commutativa)

Proprietà associativa:il prodotto di due o più numeri naturali non cambia se a due o più di essi si sostituisce il loro prodotto.

Esempio: 6 x 4 x 25 = 600 (moltiplicazione di partenza)

24 x 25 = 600 (moltiplicazione eseguita applicando la proprietà associativa, sostituendo al 6 x 4 il suo risultato, cioè 24)

Proprietà dissociativa:il prodotto di due o più numeri naturali non cambia se i fattori vengono riscritti come prodotto di due fattori.

Esempio: 25 x 12 = 300 (moltiplicazionedi partenza)

25 x (4 x 3) = 300 (moltiplicazione eseguita applicando la proprietà dissociativa)

Proprietà distributiva: per moltiplicare un numero per una somma (o una differenza) si può moltiplicare quel numero per ciascun termine dell’operazione datae poi addizionare (o sottrarre) i prodotti ottenuti.

Esempio: 3 x (6 + 4) = 3 x 10 = 30 (moltiplicazione di partenza)

(3 x 6) + (3 x 4) = 30 (moltiplicazione eseguita applicando la proprietà distributiva)

3 x (12 – 4) = 3 x 8 = 24 (moltiplicazione di partenza)

(3 x 12) – (3 x 4) = 36 – 12 = 24 (moltiplicazione eseguita applicando la proprietà distributiva)

 DIVISIONE

La divisione tra due numeri naturali è un terzo numero naturale che, se esiste, moltiplicato per il secondo dà per risultato il primo.

Il primo termine della divisione viene detto dividendo, il secondo viene detto divisore, il risultato viene detto quoto.

Il quoto moltiplicato per il divisore dà il dividendo.

La divisione ha un’unica proprietà, quella invariantiva.

Proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo (se possibile) per uno stesso numero diverso da zero entrambi i termini della divisione, il quoto non cambia e il resto, se c’è, rimane moltiplicato o diviso per quello stesso numero.

Esempio: 18 : 6 = 3 (divisione di partenza)

(18 x 5) : (6 x 5) = 90 : 30 = 3 (divisione eseguita applicando la proprietà invariantiva)

(18 : 3) : (6 : 3) = 6 : 2 = 3 (divisione eseguita applicando la proprietà invariantiva)

ELEMENTO NEUTRO

L’ elemento neutro è quel numero che lascia inalterato il risultato nelle operazioni di addizione e moltiplicazione.

 

libro di matematicaCOME SI COMPORTANO LO 0 E L’1 NELLE 4 OPERAZIONI

Addizione

In un’addizione, se uno dei due addendi è 0, la somma è uguale all’altro addendo, quello diverso da 0

Esempio: 0 + 5 = 5

0 è l’elemento neutro dell’addizione

Esempio: 5 + 2 = 7 ( addizione di partenza)

5 + 2 + 0 = 7 ( addizione con l’applicazione dell’ elemento neutro )

Sottrazione

La differenza fra due numeri uguali è 0

Esempio: 20 – 20 = 0

Moltiplicazione

In una moltiplicazione, se uno dei due fattori è 1, il prodotto è uguale all’altro fattore

Esempio: 1 x 8 = 8

1 è l’elemento neutro della moltiplicazione

Esempio 3 x 5 = 15 (moltiplicazione di partenza)

3 x 5 x 1 = 15 ( moltiplicazione con l’applicazione dell’elemento neutro)

Qualsiasi numero, moltiplicato per zero, dà come prodotto zero

Esempio 8 x 0 = 0

In questo caso lo zero viene detto elemento assorbente rispetto alla moltiplicazione.

Viceversa, se il prodotto di due numeri è zero, almeno uno dei due fattori deve essere zero.

Queste ultime due proprietà si riassumono nella legge di annullamento del prodotto: il prodotto di due fattori è zero se e solo se almeno uno dei due fattori è 0.

 Divisione

Se il dividendo è uguale al divisore il quoto è 1

Esempio: 17 : 17 = 1

Se il divisore è 1 il quoto è uguale al dividendo

Esempio: 17 : 1 = 17

Se il dividendo è 0 e il divisore è un numero diverso da 0, il quoto è uguale a 0

Esempio: 0:17 = 0

Se il divisore è 0 e il dividendo è un numero diverso da 0, il quoto non esiste

Esempio: 17:0 = impossibile

Se il dividendo e il divisore sono uguali a 0, il quoto è indeterminato

Esempio: 0:0 = indeterminato

ORDINE DELLE OPERAZIONI NELLE ESPRESSIONI

Se in un’espressione compaiono le quattro operazioni:

  • si svolgono prima le moltiplicazioni e le divisioni nell’ordine con cui si presentano
  • poi si svolgono le addizioni e le sottrazioni sempre nell’ordine con cui si presentano
  • Si svolgono prima le operazioni contenute nelle parentesi tonde fino a eliminarle
  • Poi si svolgono le operazioni contenute nelle parentesi quadre fino a eliminarle
  • Infine si svolgono le operazioni contenute nelle parentesi graffe sino a eliminarle.

matita e quadernoMOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE PER 10,100, 1000

Per moltiplicare un numero naturale per 10,100, 1000 basta aggiungere a destra del numero 1, 2 o 3 zeri

Esempio:

37 x 10 = 370

37 x 100 = 3700

37 x 1000 = 37000

Per dividere un numero naturale per 10, 100 o 1000 basta separare con una virgola 1, 2 o 3 cifre decimali a partire da destra verso sinistra

Esempio:

53:10 = 5,3

437:100 = 4,37

9730 : 1000 = 9, 730

 Se mancano delle cifre si aggiungono degli zeri a sinistra del numeroseguiti dalla virgola e dal numero dato

Esempio:

5:10 = 0,5

45:100 = 0, 45

37: 1000 = 0, 037

 

Questo riassunto è stato redatto con la consulenza della professoressa Filippa Saglimbeni.

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