Ripasso di matematica: la potenza e le sue proprietà, con esempi di esercizi svolti
La potenza
La potenza è un’operazione matematica che associa a una coppia di numeri naturali, a e b, chiamati base ed esponente, il numero p ottenuto moltiplicando la base a per se stessa, tante volte quante indicato dall’esponente b
ab = p
53= 5x5x5 = 125
in cui 5 è la base, 3 l’esponente e 125 il prodotto
Casi particolari:
- Ogni potenza avente per esponente 1 è uguale alla base:
21 = 2
71 = 7
1201 = 120
53241 = 5324
- Ogni potenza avente per esponente 0 è uguale a 1:
60 = 1
100 = 1
2530 = 1
78910 = 1
Proprietà delle potenze
Tali proprietà possono essere applicate solo in presenza di prodotti e quozienti
- Il prodotto di due potenze aventi stessa base ed esponente diverso è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti:
52x 54 = 56
- Il quoziente di due potenze aventi stessa base (la prima con esponente maggiore o uguale all’esponente della seconda) ed esponente diversoè uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti:
56: 54= 56 – 4 = 52
- La potenza di una potenza è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.
(52)3 = 52×3= 56
- Il prodotto di due potenze aventi stesso esponente e base diversaè uguale ad una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi:
23x 53= (2 x 5)3 = 103
- Il quoziente di due potenze aventi stesso esponente e base diversaè uguale ad una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi:
152: 52 = (15 : 5)2= 32
Esercizi svolti
Esempio 1
(5 x 58x 54) ∶511=
All’interno dell’esercizio figurano solo prodotti e quozienti, quindi può essere risolto applicando le proprietà.
Sapendo che 5 è uguale a 51, applico la proprietà del prodotto delle potenze con la stessa base (la numero 1 della lista del paragrafo precedente), che mi dice di sommare tutti gli esponenti con base uguale, per cui avrò
51+8+4 = 513 : 511
Adesso applico la proprietà del quoziente di potenze con stessa base (la numero 2 della lista del paragrafo precedente) e avrò
513-11 = 52
Non mi resta che risolvere la potenza ottenuta:
52= 5 x 5 = 25
Esempio 2
(22)3x 22 – 22 =
Attenzione!
Il termine 22 non può essere risolto mediante le proprietà, in quanto preceduto dal segno meno e non da un prodotto o quoziente, come le proprietà impongono, quindi verrà risolto per ultimo.
Applico la proprietà della potenza di potenza (la numero 3 della lista del paragrafo precedente), al termine (22)3 e avrò:
22×3 x 22– 22=
26x 22 – 22 =
Applico la proprietà del prodotto delle potenze con la stessa base (la numero 1 della lista del paragrafo precedente)
26+2 – 22 =
28 – 22 =
256 – 4 = 252
Esempio 3
120+ 42 x32 – 31 =
All’interno dell’esercizio sono presenti i due casi particolari delle potenze enunciate a inizio testo e la proprietà del prodotto di potenze con stesso esponente e base diversa (la numero 4 della lista del paragrafo precedente)
1 + 122 – 3=
1 + 144 – 3 = 142
Esempio 4
1002 : 102 – (2×22)2 + (32 x22)0 + (56 :54) =
All’interno dell’esercizio sono presenti nell’ordine le seguenti proprietà:
- quoziente di due potenze aventi stesso esponente e base diversa (proprietà numero 5)
- prodottodi due potenze aventi stessa base ed esponente diverso (proprietà numero 1) con l’applicazione della proprietà di potenza di potenza (proprietà numero 3)
- prodottodi due potenze aventi stesso esponentee base diversa (proprietà numero 4), con applicazione del caso particolare numero 2
- quoziente di due potenze aventi stessa base ed esponente diverso (proprietà numero 2)
Risolvo applicando le regole delle proprietà richieste
102 – (23)2 + (62)0 + 52 =
100 – (2)6 + 60 + 25 =
100 – 64 + 1 + 25 = 62
Questa scheda è stata redatta con la consulenza della professoressa Filippa Saglimbeni
